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高等数学——导数的定义和常见导数 - 知乎

高等数学——导数的定义和常见导数 - 知乎首发于TechFlow切换模式写文章登录/注册高等数学——导数的定义和常见导数梁唐​本文始发于个人公众号：TechFlow导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。函数切线关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线y=f(x)，我们想要求出这个曲线在某个点M的切线，那么应该怎么操作呢？如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，\angle NMT在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。在图中，MN的斜率表示为\tan\phi，其中\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}.当N逼近于M时：\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\我们令\Delta x = x - x_0，所以：\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\此时\tan\phi的结果就是函数在x_0处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。定义假设函数y=f(x)在点x_0处的邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量\Delta x(x_0 + \Delta x仍然在x_0的邻域内)，相应的函数取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)。如果\frac{\Delta y}{\Delta x}在\Delta x \to 0时的极限存在，称为函数y=f(x)在点x_0处可导。它的导数写成f'(x_0)\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\f'(x_0)也可以记成\displaystyle\frac{dy}{dx}，或者\displaystyle\frac{df(x)}{dx}。如果函数y=f(x)在开区间I内可导，说明对于任意x \in I，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数f(x)的导函数，记作f'(x)。不可导的情况介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。导数的本质是极限，根据极限的定义，如果\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a。那么，对于某个正数\epsilon，对于任何正数\delta，都有0 < |x - x_0| < \delta时，|f(x) - a| \geq \epsilon。那么就称为x \to x_0时，f(x)的极限是a。我们对上面的式子进行变形，可以得到，当\Delta x \to 0时:\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a \\也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近x_0还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数f(x)在x_0点可导的充分必要条件就是，函数在x_0处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是\frac{\Delta y}{\Delta x}在\Delta x \to 0时存在。即：\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) \\我们把极限符号去掉：\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a \\这里的a是\Delta \to 0时的无穷小，我们队上式两边同时乘上\Delta x，可以得到：\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x \\由于a和\Delta x都是无穷小，并且f'(x)存在，所以\Delta y也是无穷小。而连续的定义就是当\Delta x \to 0时，\Delta y也趋向于0.反例我们来举一个反例：f(x) = |x| \\它的函数图像长这样：我们试着来证明：f(x)在x=0处不可导。\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned} \\由于f(x)在x=0处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以f(x)在x=0处不可导。常见函数的导数我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。f(x)=C，C是常数。f'(x)=0f(x)=x^n, f'(x)=nx^{n-1}f(x)=\sin x，f'(x)=\cos xf(x)=\cos x，f'(x)=-\sin xf(x)=a^x， f'(x)=a^x\ln af(x)=\log_ax，f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)f(x)=\ln x， f'(x)=\frac{1}{x}当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。今天的文章就到这里，如果觉得有所收获，请顺手点个关注吧，你们的支持是我最大的动力。发布于 2020-02-07 09:05导数高等数学微积分​赞同 286​​18 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录TechFlow简单文章，复

导数公式、导数基本运算法则 - 知乎

导数公式、导数基本运算法则 - 知乎切换模式写文章登录/注册导数公式、导数基本运算法则郭洋一个积极学习的算法工程师序言作为很多算法的基础--导数，一定会被算法工程师经常用到。例如前面的文章中提到的--牛顿高斯迭代[matlab模型]。算法中的变量 J 便是函数 y=a\cdot e^{b\cdot x} 在 x_{0} 处对 a、b 的偏导数。为了想不起来时候有地方查找，这篇文章将记录最基本的导数公式，及导数的基本运算法则。基础导数公式公式1： f(x) = a....................................................导数： f'(x) = 0 公式2： f(x) = x^{a} .................................................导数： f'(x) = a\cdot x^{a-1} 公式3： f(x) = a^{x} ..................................................导数： f'(x) = a^{x}\cdot ln(a) 公式4： f(x) = e^{x} ...................................................导数： f'(x) = e^{x} 公式5： f(x) = log_{a}(x).........................................导数： f'(x) = \frac{1}{x\cdot ln(a)} 公式6： f(x) = ln(x).............................................导数： f'(x) = \frac{1}{x} 公式7： f(x) = sin(x)..........................................导数： f'(x) = cos(x) 公式8： f(x) = cos(x) .........................................导数： f'(x) = -sin(x) 公式9： f(x) = tan(x) ........................................导数： f'(x) = sec^{2}(x) 公式10：f(x) = cot(x) ........................................导数： f'(x) = -csc^{2}(x) 公式11： f(x) = sec(x) ......................................导数： f'(x) = sec(x) \cdot tan(x) 公式12： f(x) = csc(x) ......................................导数： f'(x) = -csc(x)\cdot cot(x) 公式13： f(x) = arcsin(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1- x^{2}}} 公式14： f(x) = arccos(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} 公式15： f(x) = arctan(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}} 公式16： f(x) = arccot(x) ...............................导数： f'(x) = \frac{-1}{1+x^{2}} 以上便是我们常见的基础函数求导公式，其中公式4是公式3的特殊存在，公式6是公式5的特殊存在。基本导数共14个。导数基本运算法则由于我们处理非线性问题时，函数不可能只包括一个基础函数。对于这样包含两个以上基础函数的，依然可导。假设存在这样的两个基础函数 f(x)、g(x) ，导数运算法则如下：加减： F(x) = f(x) \pm g(x) ..............................导数： F'(x) = f'(x) \pm g'(x) 乘法： F(x) = f(x) \cdot g(x) ................................导数： F'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) 除法： F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} .............................................导数： F'(x) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x)\cdot f(x)}{g^2(x)} 复杂函数复杂函数就先求外层，内部当作未知量，一层一层求解。还利用这样的两个基础函数 f(x)、g(x) ，导数运算法则如下：例如 F(x) = f[g(x)].............................................导数： F'(x) = f'[g(x)]\cdot g'(x) 编辑于 2024-02-29 20:15・IP 属地湖北导数数学偏导数​赞同 140​​7 条评论​分享​喜欢​收藏​申请

导数_百度百科

度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心导数播报讨论上传视频微积分中的重要基础概念收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f（x），x↦f’（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。中文名导数外文名Derivative提出者牛顿、莱布尼茨提出时间17世纪应用领域数学（微积分学）、物理学目录1历史沿革2定义3公式4性质5导数种别6应用历史沿革播报编辑起源大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f’（A）。发展17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 [1]成熟1750年，达朗贝尔在为法国科学院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重新表达。微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一种是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限理论，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。就数学历史来看，两种理论都有一定的道理，实无限就使用了150年。光是电磁波还是粒子？作为一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。定义播报编辑设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。导函数如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y’、f’（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。几何意义函数y=f（x）在x0点的导数f’（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。公式播报编辑简单函数这里将列举14个基本初等函数的导数。函数原函数导函数常函数（即常数）（C为常数）指数函数幂函数对数函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数双曲线函数参考资料： [2-3]复杂函数1、导数的四则运算：高阶导数运算法则……………….①………………②………………③2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y’=1/x’。3、复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。公式： 设h(x)=f(g(x)),则h'(x)=f'(g(x))g'(x)4、变限积分的求导法则：（a（x），b（x）为子函数）导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。高阶求导高阶导数的求法1、直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。一般用来寻找解题方法。2、高阶导数的运算法则：（牛顿-莱布尼茨公式）3、间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数。口诀为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）正变余，余变正切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）割乘切，反分式性质播报编辑单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。导数种别播报编辑双曲函数另外在对双曲函数shx，chx，thx等以及反双曲函数arshx，archx，arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与均能较快捷地求得结果。对于有更直接的求导方法。下面对进行求导由幂函数定义可知，y>0等式两边取自然对数等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数幂函数幂函数同理可证。导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率。上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大，也就是我们所说的导数不存在。设y=x/x，若这里让x趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1，所以极限为1。连续不可导的曲线例如，魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）就是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。应用播报编辑导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）。导数另一个定义：当x=x0时，f’（x0）是一个确定的数。这样，当x变化时，f’（x）便是x的一个函数，我们称他为f（x）（关于x）的导函数（derivative function），简称导数。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。注意：1、f’（x）<0是f（x）为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。2、导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如中f’（0）=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）求导方法（定义法）：①求函数的增量；②求平均变化率；③取极限，得导数。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

基本初等函数导数推导 - 知乎

基本初等函数导数推导 - 知乎首发于数据科学家之路切换模式写文章登录/注册基本初等函数导数推导乌兰巴托海军转行数据科学家中定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。引理1（导数公式1）：常数函数的导数处处为零。证明： 设 f(x)=C 。f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0 引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta =\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) =(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))- (\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})) =2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \cos\alpha-\cos\beta =\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) =(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))- (\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})) =-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) 引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0) （2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0) （3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0) （1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。（1）[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) （2）[cu(x)]'=cu'(x) （3）[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) （4） [\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} （5） [\frac{1}{v(x)}]'=\frac{-v'(x)}{v^{2}(x)} 证明：（1）（2）（3）请读者自行验证，下面我们证明在后文主要用到的（4）（5）[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta xv(x+\Delta x)v(x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)}{\Delta xv(x+\Delta x)v(x)}-\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \frac{v(x+\Delta x)u(x)-u(x)v(x)}{\Delta xv(x+\Delta x)v(x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{v(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} -\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} =u'(x)\frac{v(x)}{v^{2}(x)}-v'(x)\frac{u(x)}{v^{2}(x)} =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} 直接令 u(x)=1 即可得（5）引理5：复合函数的导数，设 f(x) 和 g(x) 可导。f(g(x))'=f'(g(x))g'(x) 证明：f(g(x))'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} =f'(g(x))g'(x) 引理6：设 y=f(x) 在区间 [a,b] 上有反函数 x=g(y) ，且 f(x) 在 [a,b] 上的一点 x_{0} 可导，且 f(x_{0})=y_{0}。则若 f(x_{0})'\ne0 ， g(y_{0})'=\frac{1}{f(x_{0})'} ，若f(x_{0})'=0 ， g(y_{0})'=\infty。证明：记 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) g(y_{0})'=\underset{\Delta y\rightarrow 0}\lim\frac{g(y_{0}+\Delta y)-g(y_{0})}{\Delta y}=\underset{\Delta y\rightarrow 0}\lim \frac{g(y_{0}+\Delta y)-g(y_{0})}{y_{0}+\Delta y-y_{0}}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{x_{0}+\Delta x-x_{0}}{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}=\frac{1}{\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim{\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}=\frac{1}{f(x_{0})'} 导数公式2： (x^{\mu})'=\mu x^{\mu-1}证法一：设 f(x)=x^{\mu} f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{(x+\Delta x)^{\mu}-x^{\mu}}{\Delta x}=x^{\mu}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^{\mu}-1}{\Delta x} =x^{\mu}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{e^{\mu \ln(1+\frac{\Delta x}{x})}-1}{\Delta x}=x^{\mu}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\mu \ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x} =\mu x^{\mu-1}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\ \frac{\Delta x}{x}} =\mu x^{\mu-1} 证法二：设 f(x)=x^{\mu}=e^{\mu \ln x}根据复合函数求导法则： f(x)'=e^{\mu \ln x}(\mu \ln x)'=x^{\mu}\frac{\mu}{x}=\mu x^{\mu-1} 导数公式3： (\sin x)'=\cos x证明：设 f(x)=\sin xf(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})=\cos x 导数公式4： (\cos x)'=-\sin x证明：设 f(x)=\cos x f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{-2\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim-\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})=-\sin x 导数公式5： (\tan x)'=\sec^{2}x证法一：设 f(x)=\tan x f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\tan(x+\Delta x)-\tan(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sin(x+\Delta x)\cos x-\sin x\cos(x+\Delta x)}{\Delta x\cos(x)\cos(x+\Delta x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x\cos(x)\cos(x+\Delta x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{1}{\cos(x)\cos(x+\Delta x)} =\frac{1}{\cos^{2}x} =\sec^{2}x 证法二：设 f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} f(x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x} =\sec^{2}x 导数公式6： (\cot x)'=-\csc^{2}x证法一：设 f(x)=\cot x f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\cot(x+\Delta x)-\cot(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\cos(x+\Delta x)\sin x-\cos x\sin(x+\Delta x)}{\Delta x\sin(x)\sin(x+\Delta x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{-\sin(\Delta x)}{\Delta x\sin(x)\sin(x+\Delta x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{-1}{\sin(x)\sin(x+\Delta x)} =-\frac{1}{\sin^{2}x} =-\csc^{2}x 证法二：设 f(x)=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} f(x)'=\frac{(\cos x)'\sin x-(\sin x)'\cos x}{\sin^{2}x} =\frac{-sin^{2}x-cos^{2}x}{sin^{2}x} =-\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x 导数公式7： (\sec x)'=\tan x\sec x 证法一：设 f(x)=\sec x f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sec(x+\Delta x)-\sec(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\cos(x)-\cos(x+\Delta x)}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos(x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{2\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos(x)}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})}{\cos(x+\Delta x)\cos(x)}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\tan x\sec x 证法二：设 f(x)=\sec x=\frac{1}{\cos x} f(x)'=\frac{-(\cos x)'}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\tan x\sec x 导数公式8： (\csc x)'=-\cot x\csc x 证明：设 f(x)=\csc x f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\csc(x+\Delta x)-\csc(x)}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\sin(x)-\sin(x+\Delta x)}{\Delta x\sin(x+\Delta x)\sin(x)} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{-2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x\sin(x+\Delta x)\sin(x)}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{-\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})}{\sin(x+\Delta x)\sin(x)}=\frac{-\cos x}{\sin^{2}x}=-\cot x\csc x 证法二：设 f(x)=\csc x=\frac{1}{\sin x} f(x)'=\frac{-(\sin x)'}{\sin^{2}x}=\frac{-\cos x}{\sin^{2}x}=-\cot x\csc x 导数公式9： (a^{x})'=a^{x}\ln a 证明：设 f(x)=a^{x} f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=a^{x}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} =a^{x}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x}=a^{x}\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta x\ln a}{\Delta x} =a^{x}\ln a 导数公式10： (e^{x})'=e^{x} 证明：在导数公式9中令 a=e ，即证得。导数公式11： (\log_{a}^{x})'=\frac{1}{x\ln a} 证明：设 f(x)=\log_{a}^{x}f(x)'=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\log_{a}^{x+\Delta x}-\log_{a}^{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \frac{\log_{a}^{1+\frac{\Delta x}{x}}}{\Delta x} =\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x\ln a}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x\ln a} =\frac{1}{x\ln a} 导数公式12： (\ln x)'=\frac{1}{x} 证明：在导数公式1中令 a=e ，即证得。导数公式13： (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 证明：设 y=f(x)=\arcsin xf(x)'=\frac{1}{\sin(y)'}=\frac{1}{\cos y} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 导数公式14： (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 证法一：设 y=f(x)=\arccos xf(x)'=\frac{1}{\cos(y)'}=-\frac{1}{\sin y} =-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 证法二：设 y=\arcsin x，则 x=\sin y(-\frac{π}{2}\leq y\leq\frac{π}{2}) ，令 z=\frac{\pi}{2}-y(0\leq z\leq\pi) ，所以有 \cos z=\sin y=x ， 因为 y,z 的取值范围与反三角函数的值域一致，所以有 z=\arccos x， y=\arcsin x，因此 \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x 。故 (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 。注：公式16和18也可用类似方法完成证明，由于不太常用，具体证明请读者自行完成。导数公式15： (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}证明：设 y=f(x)=\arctan x f(x)'=\frac{1}{\tan(y)'}=\cos^{2}y=\frac{\cos^{2}y}{\sin^{2}y+\cos^{2}y} =\frac{1}{\tan^{2}y+1}=\frac{1}{1+x^{2}} 导数公式16： (arccot x)'=\frac{1}{1+x^{2}}证明：设 y=f(x)=arccotx f(x)'=\frac{1}{\cot(y)'}=-\sin^{2}y=-\frac{\sin^{2}y}{\sin^{2}y+\cos^{2}y} =-\frac{1}{\cot^{2}y+1}=-\frac{1}{1+x^{2}} 导数公式17： (arcsecx)'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}证明：设 y=f(x)=arcsecx f(x)'=\frac{1}{\sec(y)'}=\frac{1}{\tan y\sec y} =\frac{1}{\sec y\sqrt{\sec^{2}y-1}}=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} 导数公式18： (arccscx)'=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}证明：设 y=f(x)=arccscx f(x)'=\frac{1}{\csc(y)'}=-\frac{1}{\cot y\csc y} =-\frac{1}{\csc y\sqrt{\csc^{2}y-1}}=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} 编辑于 2022-01-20 22:21高等数学导数数学分析​赞同 1521​​85 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录数据科学家之路一位边走边写数据科学转行者习题集导数推导公式转

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序言

1定义

开关定义子章节

1.1一般定义

1.2几何意义

1.3导数、导函数与微分算子

1.4导数与微分

2历史

3导数的记法

开关导数的记法子章节

3.1牛顿的记法

3.2莱布尼兹的记法

3.3拉格朗日的记法

3.4其它记法

4函数可导的条件

5导数与函数的性质

开关导数与函数的性质子章节

5.1单调性

5.2凹凸性

6导数的计算

开关导数的计算子章节

6.1基本函数的导数

6.2导数的求导法则

6.3例子

7高阶导数

开关高阶导数子章节

7.1二阶导数

7.2高阶导数

7.3高阶导数的求法

8多元函数的导数

开关多元函数的导数子章节

8.1向量值函数的导数

8.2偏导数

8.3方向导数

9推广

开关推广子章节

9.1复变量导数

9.2弱微分

9.3次导数

9.4非整数阶导数

9.5加托导数和弗雷歇导数

9.6导子

10导数的应用

开关导数的应用子章节

10.1边际和弹性

11参见

12注释

13参考文献

14外部链接

开关目录

导数

91种语言

AfrikaansአማርኛAragonésالعربيةAsturianuAzərbaycancaتۆرکجهБашҡортсаБеларускаяБеларуская (тарашкевіца)БългарскиभोजपुरीবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisFurlanGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasa IndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語ქართულიQaraqalpaqsha한국어LatinaLombardລາວLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംमराठीBahasa MelayuMaltiမြန်မာဘာသာNederlandsNorsk nynorskNorsk bokmålOccitanOromooPolskiپنجابیPortuguêsRomânăРусскийSicilianuScotsSrpskohrvatski / српскохрватскиSimple EnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски / srpskiSvenskaŚlůnskiதமிழ்ไทยTagalogTürkçeТатарча / tatarçaУкраїнськаاردوOʻzbekcha / ўзбекчаVènetoTiếng ViệtWalon吴语ייִדיש文言粵語

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  提示：此条目页的主题不是倒数。

一个实值函数的图像曲线。函数在一点的导数等于它的图像上这一点处之切线的斜率。

系列條目微积分学

函数

极限论

微分学

积分

微积分基本定理

微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）

基础概念（含极限论和级数论）

實數性質

函数 · 单调性 · 初等函数 · 數列 · 极限 · 实数的构造（1=0.999…） · 无穷（銜尾蛇） · 無窮小量 · ε-δ語言 · 实无穷（英语：Actual infinity） · 大O符号 · 最小上界 · 收敛数列 · 芝诺悖论 · 柯西序列 · 单调收敛定理 · 夹挤定理 · 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 上极限和下极限 · 函數極限 · 渐近线 · 邻域 · 连续 · 連續函數 · 不连续点 · 狄利克雷函数 · 稠密集 · 一致连续 · 紧集 · 海涅-博雷尔定理 · 支撑集 · 欧几里得空间 · 点积 · 外积 · 三重积 · 拉格朗日恒等式 · 等价范数 · 坐標系 · 多元函数 · 凸集 · 巴拿赫不动点定理 · 级数 · 收敛级数（英语：convergent series） · 几何级数 · 调和级数 · 項測試 · 格兰迪级数 · 收敛半径 · 审敛法 · 柯西乘积 · 黎曼级数重排定理 · 函数项级数（英语：function series） · 一致收斂 · 迪尼定理

數列與級數

連續

函數

一元微分

差分 · 均差 · 微分 · 微分的线性（英语：linearity of differentiation） · 导数（流数法 · 二阶导数 · 光滑函数 · 高阶微分 · 莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） · 幽灵似的消失量） · 介值定理 · 中值定理（罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则（乘积法则 · 广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule） · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则） · 洛必达法则 · 反函数的微分 · Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula） · 对数微分法 · 导数列表 · 导数的函数应用（单调性 · 切线 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 求导检测（英语：derivative test） · 凸函數 · 凹函數 · 簡森不等式 · 曲线的曲率 · 埃尔米特插值） · 达布定理 · 魏尔施特拉斯函数

一元积分

积分表

定义

不定积分

定积分

黎曼积分

达布积分

勒贝格积分

积分的线性

求积分的技巧（换元积分法 · 三角换元法 · 分部积分法 · 部分分式积分法 · 降次积分法） 微元法 · 积分第一中值定理 · 积分第二中值定理 · 微积分基本定理 · 反常積分 · 柯西主值 · 積分函數（Β函数 · Γ函数 · 古德曼函数 · 椭圆积分） · 數值積分（矩形法 · 梯形公式 · 辛普森積分法 · 牛顿-寇次公式） · 积分判别法 · 傅里叶级数（狄利克雷定理 · 周期延拓） · 魏尔施特拉斯逼近定理 · 帕塞瓦尔定理 · 刘维尔定理

多元微积分

偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分（英语：matrix calculus）） · 弱微分

微分方程

常微分方程 · 柯西-利普希茨定理 · 皮亚诺存在性定理 · 分离变数法 · 级数展开法 · 积分因子 · 拉普拉斯算子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 叠加原理 · 特徵方程式 · 朗斯基行列式 · 微分算子法 · 差分方程 · 拉普拉斯变换 · 偏微分方程（拉普拉斯方程 · 泊松方程） · 施图姆-刘维尔理论 · N体问题 · 积分方程

相关数学家

牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 約翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） · 婆什迦羅第二 · 阿涅西 · 阿基米德

历史名作

从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） · 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） · 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） · 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）

分支学科

实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus） · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析

查论编

导数（英語：derivative）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数

f

{\displaystyle f}

的自变量在一点

x

0

{\displaystyle x_{0}}

上产生一个增量

h

{\displaystyle h}

时，函數输出值的增量與自變量增量

h

{\displaystyle h}

的比值在

h

{\displaystyle h}

趋于0时的極限如果存在，即為

f

{\displaystyle f}

在

x

0

{\displaystyle x_{0}}

处的导数，记作

f

′

(

x

0

)

{\displaystyle f'(x_{0})}

、

d

f

d

x

(

x

0

)

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}

或

d

f

d

x

|

x

=

x

0

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}

。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度[1]:153。

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。

对于可导的函数

f

{\displaystyle f}

，

x

↦

f

′

(

x

)

{\displaystyle x\mapsto f'(x)}

也是一个函数，称作

f

{\displaystyle f}

的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英語：differentiation）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的[1]:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义[编辑]

一般定义[编辑]

一個動畫，給出了一個直觀的導數概念，因為參數變化時函數的“擺動”會改變。

直觀上

f

(

x

)

−

f

(

a

)

{\displaystyle f(x)-f(a)}

代表函數值從

a

{\displaystyle a}

到

x

{\displaystyle x}

的變化量，那這樣，

f

(

x

)

−

f

(

a

)

x

−

a

{\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

代表的是從

a

{\displaystyle a}

到

x

{\displaystyle x}

的平均變化率，如果把

x

{\displaystyle x}

趨近於

a

{\displaystyle a}

，似乎就可以更能貼切的描述函數值在

a

{\displaystyle a}

附近的變化。

以此為動機，若实函数

f

{\displaystyle f}

於实数

a

{\displaystyle a}

有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含

a

{\displaystyle a}

）

lim

x

→

a

f

(

x

)

−

f

(

a

)

x

−

a

{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

存在則称

f

{\displaystyle f}

於

a

{\displaystyle a}

处可导，并称这个极限为

f

{\displaystyle f}

於

a

{\displaystyle a}

处的导数[2]:117-118，记为

f

′

(

a

)

{\displaystyle f^{\prime }(a)}

也可记作

d

f

d

x

|

x

=

a

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}}

或

d

f

d

x

(

a

)

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}

[1]:154。

根據函數極限的定義，導數定義部分的 ＂存在

δ

>

0

{\displaystyle \delta >0}

使所有的

x

∈

D

f

{\displaystyle x\in D_{f}}

，只要

0

<

|

x

−

a

|

<

δ

{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }

都有....＂ 可以直觀的理解為 ＂當

h

=

x

−

a

{\displaystyle h=x-a}

趨近於

0

{\displaystyle 0}

都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在

δ

>

0

{\displaystyle \delta >0}

對所有的實數

h

{\displaystyle h}

，只要

a

+

h

∈

D

f

{\displaystyle a+h\in D_{f}}

且

0

<

|

h

|

<

δ

{\displaystyle 0<|h|<\delta }

都有....＂這段敘述無法直接套入極限定義的問題，對此必須把以下的表達式

lim

h

→

0

f

(

a

+

h

)

−

f

(

a

)

h

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在

r

>

0

{\displaystyle r>0}

，使

f

{\displaystyle f}

在

(

a

−

r

,

a

+

r

)

{\displaystyle (a-r,\,a+r)}

裡都有定義，那定義

F

{\displaystyle F}

為以

{

h

∈

R

|

(

h

≠

0

)

∧

(

|

h

|

<

r

)

}

{\displaystyle \{h\in \mathbb {R} \,|\,(h\neq 0)\wedge (|h|

為定義域，然後以

F

(

h

)

=

f

(

a

+

h

)

−

f

(

a

)

h

{\displaystyle F(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

為對應規則的函數，那以下的極限式

lim

h

→

0

F

(

h

)

=

f

′

(

a

)

{\displaystyle \lim _{h\to 0}F(h)=f^{\prime }(a)}

就可以把以

h

{\displaystyle h}

為自變數的偏差，將之趨近於零求導數的想法納入正式的運算裡。

几何意义[编辑]

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设

P

0

{\displaystyle P_{0}}

为曲线上的一个定点，

P

{\displaystyle P}

为曲线上的一个动点。当

P

{\displaystyle P}

沿曲线逐渐趋向于点

P

0

{\displaystyle P_{0}}

时，并且割线

P

P

0

{\displaystyle PP_{0}}

的极限位置

P

0

T

{\displaystyle P_{0}T}

存在，则称

P

0

T

{\displaystyle P_{0}T}

为曲线在

P

0

{\displaystyle P_{0}}

处的切线。

若曲线为一函数

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

的图像，那么割线

P

P

0

{\displaystyle PP_{0}}

（粉紅色）的斜率为：

tan

⁡

φ

=

Δ

y

Δ

x

=

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}

当

P

0

{\displaystyle P_{0}}

处的切线

P

0

T

{\displaystyle P_{0}T}

（橘紅色），即

P

P

0

{\displaystyle PP_{0}}

的极限位置存在时，此时

Δ

x

→

0

{\displaystyle \Delta x\to 0}

，

φ

→

α

{\displaystyle \varphi \to \alpha }

，则

P

0

T

{\displaystyle P_{0}T}

的斜率

tan

⁡

α

{\displaystyle \tan \alpha }

为：

tan

⁡

α

=

lim

Δ

x

→

0

tan

⁡

φ

=

lim

Δ

x

→

0

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

{\displaystyle \tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\tan \varphi =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说

f

′

(

x

0

)

=

tan

⁡

α

{\displaystyle f'(x_{0})=\tan \alpha }

，因此，导数的几何意义即曲线

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

在点

P

0

(

x

0

,

f

(

x

0

)

)

{\displaystyle P_{0}(x_{0},f(x_{0}))}

处切线的斜率。[2]:117[1]:153

导数、导函数与微分算子[编辑]

主条目：微分算子

若函数

f

(

x

)

{\displaystyle \;f(x)\;}

在其定义域包含的某区间

I

{\displaystyle \;I\;}

内每一个点都可导，那么也可以说函数

f

(

x

)

{\displaystyle \;f(x)\;}

在区间

I

{\displaystyle \;I\;}

内可导，这时对于

I

{\displaystyle \;I\;}

内每一个确定的

x

{\displaystyle \;x\;}

值，都对应着

f

{\displaystyle \;f\;}

的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数

x

↦

f

′

(

x

)

{\displaystyle x\mapsto f'(x)}

，这个函数称作原来函数

f

(

x

)

{\displaystyle \;f(x)\;}

的导函数[1]:155，记作：

y

′

{\displaystyle \;y'\;}

、

f

′

(

x

)

{\displaystyle f'(x)\;}

或者

d

f

d

x

(

x

)

{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}

。值得注意的是，导数是一个数，是指函数

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)\;}

在点

x

0

{\displaystyle x_{0}\;}

处导函数的函数值。但在不至于混淆的情况下，通常也可以说导函数为导数。

由于对每一个可导的函数

f

(

x

)

{\displaystyle \;f(x)\;}

，都有它的导函数

f

′

(

x

)

{\displaystyle f'(x)\;}

存在，我们还可以定义将函数映射到其导函数的算子。这个算子称为微分算子，一般记作

D

{\displaystyle D}

或

d

d

x

{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}

[3]。例如：

D

(

x

↦

1

)

=

(

x

↦

0

)

D

(

x

↦

x

)

=

(

x

↦

1

)

D

(

x

↦

x

2

)

=

(

x

↦

2

⋅

x

)

{\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0)\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1)\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x)\end{aligned}}}

由于微分算子的输出值仍然是函数，可以继续求出它在某一点的取值。比如说对于函数

f

(

x

)

=

x

2

{\displaystyle \;f(x)=x^{2}\;}

，

D

(

f

)

=

(

x

↦

2

⋅

x

)

{\displaystyle D(f)=(x\mapsto 2\cdot x)}

所以

D

(

f

)

(

x

)

=

2

x

{\displaystyle D(f)(x)=2x}

，

D

(

f

)

(

1.4

)

=

2

×

1.4

=

2.8

{\displaystyle D(f)(1.4)=2\times 1.4=2.8}

。

导数与微分[编辑]

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分

d

x

{\displaystyle \mathrm {d} x}

，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

的微分又可记作

d

y

=

f

′

(

x

)

d

x

{\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\mathrm {d} x}

[4]。

历史[编辑]

主条目：微积分学 § 历史

导数和积分的发现是微积分发明的关键一步。17世纪以来，光学透镜的设计以及炮弹弹道轨迹的计算促使欧洲的数学家对曲线的切线进行研究。1630年代，法国数学家吉尔·德·罗伯瓦尔作出了最初的尝试[5]。与此同时，同是法国人的费马在计算切线时已经使用了无穷小量的概念[註 1][6]:52。

如右图，费马考虑曲线

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)}

在

x

{\displaystyle x}

处的切线。他声称，对于切线，有以下的关系成立：

s

s

+

h

=

f

(

x

)

f

(

x

+

h

)

{\displaystyle {\frac {s}{s+h}}={\frac {f(x)}{f(x+h)}}}

对上式变形后得到：

s

=

f

(

x

)

f

(

x

+

h

)

−

f

(

x

)

h

{\displaystyle s={\frac {f(x)}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}

对于具体的函数

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)}

，比如

f

(

x

)

=

x

3

{\displaystyle f(x)=x^{3}}

，费马计算

f

(

x

+

h

)

−

f

(

x

)

h

{\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

的值，并将

h

{\displaystyle h}

设为0，就得到

s

{\displaystyle s}

，从而确定切线的斜率。可以看出，费马的方法实质上已经是求导。费马还给出了

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)}

为多项式时切线的公式。英国的巴罗、荷兰的于德（Johnann Van Waveren Hudde）和瓦隆的斯卢兹（René Francoiss Walther de Sluze）继续了费马的工作[7]。然而，费马和巴罗等人并没有将求导归纳为一种独立的工具，只是给出了具体的计算技巧[5]。

1660年代，英国人伊萨克·牛顿提出了“流数”的概念。牛顿在写于1671年的《流数法与无穷级数》中对流数的解释是：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他的量则随着时间而连续增长。我从时间流动性出发，把所有其他量的增长速度称为流数。”也就是说，流数就是导数。牛顿将无穷小的时间间隔定义为“瞬间”（moment），而一个量的增量则是流数与瞬间的乘积。求导数时，牛顿将自变量和因变量两边展开，同时除以瞬间，再将剩下的项中含有瞬间的项忽略掉[6]:72。而在他的第三篇微积分论文中，牛顿使用了新的概念：最初比和最后比。他说：

“

随我们的意愿，流数可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的增量，精确地说，它们是最初增量的最初的比，它们也能用和它们成比例的任何线段来表示。[6]:74

”

相比于牛顿，德国数学家莱布尼兹使用了更清晰的记号来描述导数（见导数的记法一节）。他利用了巴罗的“微分三角形”概念，将自变量和因变量的增量记为

d

x

{\displaystyle dx}

和

d

y

{\displaystyle dy}

。他把

d

x

{\displaystyle dx}

理解为“比任何给定的长度都要小”，而

d

y

{\displaystyle dy}

则是

x

{\displaystyle x}

移动时

y

{\displaystyle y}

“瞬刻的增长”[6]:89。而导数则是两者之间的比例。他还研究了函数之和、差、积、商的求导法则。

伊萨克·牛顿爵士

牛顿和莱布尼兹的差别在于，牛顿将无穷小量作为求流数或导数的工具，而莱布尼兹则用无穷小量的比值来表示导数。这与二人的哲学思想差异有关[6]:92。

微积分的理论面世后，遭到了有关无穷小量定义的攻击与质疑。导数的定义自然也包括在内。莱布尼兹和牛顿对无穷小量的认识都是模糊的。不仅如此，莱布尼兹甚至引入了

(

d

)

x

{\displaystyle (d)x}

和

(

d

)

y

{\displaystyle (d)y}

，称其为“未消失的量”，用以进行求导前部的计算。在完成计算后再用“消失的量”

d

x

{\displaystyle dx}

和

d

y

{\displaystyle dy}

来代替它们，并假定前两者之比等于后两者之比，认为这是一个不容置疑的真理[6]:102。

许多数学家，包括伯努利兄弟、泰勒、麦克劳林、达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都想要对微积分的严密性辩护或将微积分严密化。但受限于对无穷小量的认识，十八世纪的数学家并没有做出太大的成果。微积分的强烈抨击者，英国的乔治·贝克莱主教在攻击无穷小量时认为，流数实际上是“消失的量的鬼魂”，是0与0之比。欧拉承认后者，并认为0与0之比可以是有限值。拉格朗日则假定函数都可以展开为幂级数，并在此基础上定义导数[6]:154-156。

十九世纪后，随着对函数连续性和极限的更深刻认识，微积分终于趋于严谨。波尔查诺是首先将导数定义为函数值的改变量与自变量增量之比在自变量增量无限接近0时趋向的量。波尔查诺强调导数不是0与0之比，而是前面的比值趋向的数[8]:10。柯西在他的著作《无穷小分析教程概论》中也使用了同样的定义，并定义

d

y

{\displaystyle dy}

为导数与

d

x

{\displaystyle dx}

的乘积。这样，导数和微分的概念得到了统一[8]:11。

导数的记法[编辑]

从微积分发轫至如今，不同的数学家都曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。

牛顿的记法[编辑]

作为微积分的发明人之一，牛顿在1704年著作中将导数用函数符号上方的点来表示。例如

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

的导数就记作

y

˙

{\displaystyle {\dot {y}}}

，而二阶导数则记为

y

¨

{\displaystyle {\ddot {y}}}

[9]:193-196。他以后的数学家也会将

y

˙

{\displaystyle {\dot {y}}}

用来表示函数的微分。牛顿的记法中没有明确自变量，因此

y

{\displaystyle y}

对

x

{\displaystyle x}

的导数在牛顿的著作中也会被记成

y

′

:

x

′

{\displaystyle y':x'}

，因为这可以理解为两个函数

y

{\displaystyle y}

和

x

{\displaystyle x}

对于另一个变量

t

{\displaystyle t}

的导数比[9]:196。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）：

y

′

:

x

′

=

d

y

d

t

:

d

x

d

t

=

d

y

d

x

{\displaystyle y':x'={\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dx}}}

牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面，如微分方程中。以及直到现在，使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（即对时间的导数）依然常见于各类物理学教材中（如使用

v

˙

{\displaystyle {\dot {v}}}

来表示加速度等）。注意到对于高阶的导数，这种记法就无法表示了。

莱布尼兹的记法[编辑]

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

莱布尼兹在他的研究中分别使用

Δ

x

{\displaystyle \Delta x}

和

Δ

y

{\displaystyle \Delta y}

来表示函数自变量和應变量（输出值）的有限变化量，而使用

d

x

{\displaystyle dx}

和

d

y

{\displaystyle dy}

来表示“无限小”的变化量（即所谓的“无穷小量”）[10]。如果将函数记为

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

的话，那么在莱布尼兹的记法下，其导数记为：

d

y

d

x

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}

、

d

f

d

x

(

x

)

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}

、

d

d

x

f

(

x

)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}

或

d

(

f

(

x

)

)

d

x

,

{\displaystyle {\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}},}

这个记法最早出现在莱布尼兹1684年的论文中[9]:204，莱布尼兹在之前的文章中会将

d

x

{\displaystyle dx}

记成

x

d

{\displaystyle {\tfrac {x}{d}}}

，把

d

y

d

x

{\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}

记成

d

y

x

{\displaystyle d{\tfrac {y}{x}}}

。莱布尼兹记法的好处是明确了自变量和應变量[11]。要注意的是记号

d

x

{\displaystyle dx}

是一个整体，

d

y

{\displaystyle dy}

也是，而

d

y

d

x

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}

可以看成一个整体，也可以不严谨地看成

d

y

{\displaystyle dy}

和

d

x

{\displaystyle dx}

的比值[10]。此外，

d

y

d

x

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}

表示的是导函数，在某一点

x

=

a

{\displaystyle x=a}

的导数则记为：

d

y

d

x

|

x

=

a

{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}}

对于更高阶的导数（比如说n阶，见高阶导数一节），莱布尼兹的记法是：

d

n

y

d

x

n

{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}

、

d

n

f

d

x

n

(

x

)

{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}

或

d

n

[

f

(

x

)

]

d

x

n

,

{\displaystyle {\frac {d^{n}\left[f(x)\right]}{dx^{n}}},}

这种记法是在1695年出现的[9]:205。这里的分子和分母不再具有单独的意义。莱布尼兹的记法中使用

d

d

x

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}

来表示微分算子，比如说二阶的导数

d

2

y

d

x

2

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}

就可以看成：

d

2

y

d

x

2

=

d

d

x

(

d

y

d

x

)

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}

[11]

莱布尼兹记法的另一个好处是便于记忆导数计算的法则。例如链式法则（见导数的计算一节）应用莱布尼兹的记法就是：

d

y

d

x

=

d

y

d

u

⋅

d

u

d

x

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}

可以想象为右边是两个分式的乘积，消去

d

u

{\displaystyle du}

之后就变成左边[11]。

由于牛顿和莱布尼兹之间关于微积分创始人称号的持久纠纷，在十八世纪早期的很长时间里，英国数学界与欧洲大陆的数学界分别采用牛顿和莱布尼兹的记号，泾渭分明。这种情况直到十八世纪后期才开始改变，随着拉格朗日记法的出现而变得多样化起来[9]:197-200。

拉格朗日的记法[编辑]

另一种现今常见的记法是十八世纪拉格朗日于1797年率先使用的，以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号。函数

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

的导数就记作

f

′

(

x

)

{\displaystyle f'(x)}

或

y

′

{\displaystyle y'}

[12]。二阶和三阶导数记为

f

″

(

x

)

{\displaystyle f''(x)}

、

y

″

{\displaystyle y''}

和

f

‴

(

x

)

{\displaystyle f'''(x)}

、

y

‴

{\displaystyle y'''}

[9]:207。如果需要处理更高阶的导数，则用括号内的求导阶数n来代替短撇，记为：

f

(

n

)

(

x

)

{\displaystyle f^{(n)}(x)}

、

y

(

n

)

{\displaystyle y^{(n)}}

。当十九世纪的数学家柯西处理微分学时，他认为莱布尼兹的记法“模糊不便”，而采用更为“紧凑”的记法，将

d

y

d

x

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}

记为

y

x

′

{\displaystyle y'_{x}}

。这种记法可说是拉格朗日记法的变种[9]:218。后来这种记法曾继续被精简为

y

x

{\displaystyle y_{x}}

[13]。

其它记法[编辑]

十九世纪以前，尽管大部分数学家会选择采用牛顿、莱布尼兹或拉格朗日的记号来表示导数，但也有很多的数学家希望使用自己的方法来记录。在不同数学家的著作中可以看到各种主流记法的混合或变体。数学家之间关于什么样的记法最为简便和严谨也是各执一词。同时，由于函数的微分、导数、偏导数以及无穷小量等概念尚未成熟，记号的不统一更增加了数学家之间相互理解的难度[9]:214-234。十九世纪初期的德国数学家马尔丹·欧姆采用

∂

f

(

x

)

{\displaystyle \partial f(x)}

来表示导数，而同时期的雅可比则采用

∂

f

∂

x

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

来表示偏导数。同时许多数学家采用

d

f

d

x

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}

[14]、

d

x

f

{\displaystyle {\frac {d}{x}}f}

[15]或

δ

f

δ

x

{\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta x}}}

[16]表示偏导数。

用大写字母

D

{\displaystyle D}

表示导数从十八世纪末就开始。1800年，法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托内·阿伯加斯特（Louis François Antoine Arbogast）使用

D

m

f

{\displaystyle D^{m}f}

表示函数

f

{\displaystyle f}

的m阶导数或全微分[17]。而其后本杰明·佩尔斯也使用

D

f

⋅

x

{\displaystyle Df\cdot x}

表示

f

{\displaystyle f}

对

x

{\displaystyle x}

的导数[18]。而柯西也采用类似的记号，用

D

x

m

f

{\displaystyle D_{x}^{m}f}

表示函数

f

{\displaystyle f}

对

x

{\displaystyle x}

的m阶偏导数[19]。

函数可导的条件[编辑]

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在

(

−

∞

,

+

∞

)

{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}

上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数

f

{\displaystyle f}

在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。这个结论来自于连续性的定义。

证明：

设函数

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

上一点

x

0

{\displaystyle x_{0}}

，函数在这一点可导，即

f

′

(

x

0

)

=

lim

Δ

x

→

0

Δ

y

Δ

x

{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

存在，其中

Δ

y

=

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

{\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}

所以：

lim

Δ

x

→

0

Δ

y

=

lim

Δ

x

→

0

(

Δ

y

Δ

x

⋅

Δ

x

)

=

lim

Δ

x

→

0

Δ

y

Δ

x

⋅

lim

Δ

x

→

0

Δ

x

=

f

′

(

x

0

)

⋅

0

=

0

{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \Delta x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x=f'(x_{0})\cdot 0=0}

即函数

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)}

在

x

0

{\displaystyle x_{0}}

处连续。[2]:118

符号函数（sgn函数）是一个不连续的函数在断点处不可导的例子：

符号函数

首先注意到这个函数在

x

0

=

0

{\displaystyle x_{0}=0}

处不连续。作为验证，可以求出函数在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

处附近的变化率，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在

x

0

=

0

{\displaystyle x_{0}=0}

左侧附近的变化率为：

f

(

x

)

−

f

(

x

0

)

x

−

x

0

=

−

1

−

0

x

−

0

=

−

1

x

{\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {-1-0}{x-0}}=-{\frac {1}{x}}}

当

x

→

0

−

{\displaystyle x\to 0^{-}}

时，上面的比值趋于正无穷大发散，不存在，故这个符号函数在

x

0

=

0

{\displaystyle x_{0}=0}

处不可导。

然而，连续性并不能保证可导性。即使函数在一点上连续，也不一定就在这一点可导。事实上，存在着在每一点都连续，但又在每一点都不可导的“病态函数”。1931年，斯特凡·巴拿赫甚至证明，事实上“绝大多数”的连续函数都属于这种病态函数（至少在一点可导的连续函数在所有连续函数中是贫集）[20]。在连续而不可导的函数里，一种常见的情况是，函数在某一点连续，并且可以定义它的左导数和右导数：

左导数：

f

−

′

(

x

0

)

=

lim

Δ

x

→

0

−

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

{\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}

[2]:118[1]:155

右导数：

f

+

′

(

x

0

)

=

lim

Δ

x

→

0

+

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

{\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}

[2]:118[1]:155

然而左导数和右导数并不相等，因而函数在该处不可导。实际上，若函数导数存在，则必然可以推出左右导数相等，这是由极限的性质（极限存在则左右极限相等）得来：

lim

Δ

x

→

0

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

=

lim

Δ

x

→

0

−

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

=

lim

Δ

x

→

0

+

f

(

x

0

+

Δ

x

)

−

f

(

x

0

)

Δ

x

{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}

下面以绝对值函数作为例子：

绝对值函数

该函数在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

处的左导数为：

f

−

′

(

0

)

=

lim

x

→

0

−

f

(

x

)

−

f

(

0

)

x

−

0

=

lim

x

→

0

−

−

x

−

0

x

−

0

=

−

1

{\displaystyle f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1}

该函数在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

处的右导数为：

f

+

′

(

0

)

=

lim

x

→

0

+

f

(

x

)

−

f

(

0

)

x

−

0

=

lim

x

→

0

+

x

−

0

x

−

0

=

1

{\displaystyle f'_{+}(0)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x-0}{x-0}}=1}

绝对值函数在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故绝对值函数在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

处不可导。[2]:118-119

如果函数在一点的左右导数都存在并且相等，那么函数在该处可导。[1]:155

导数与函数的性质[编辑]

通过认识可导函数的导数，可以推断出不少函数本身的性质。

单调性[编辑]

x变化时函数

f

(

x

)

=

1

+

x

sin

⁡

(

x

2

)

{\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})}

（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数

f

{\displaystyle f}

，有：

f

(

b

)

−

f

(

a

)

=

∫

a

b

f

′

(

t

)

d

t

{\displaystyle f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)\mathrm {d} t}

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足

f

′

(

x

0

)

=

0

{\displaystyle f'(x_{0})=0}

的一点

x

0

{\displaystyle x_{0}}

，如果存在

δ

>

0

{\displaystyle \delta >0}

使得

f

′

{\displaystyle f'}

在区间

(

x

0

−

δ

,

x

0

]

{\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}]}

上都大于等于零，而在区间

[

x

0

,

x

0

+

δ

)

{\displaystyle [x_{0},x_{0}+\delta )}

上都小于等于零，那么

x

0

{\displaystyle x_{0}}

是一个极大值点，反之则为极小值点[2]:170。如果

f

″

(

x

0

)

=

0

{\displaystyle f''(x_{0})=0}

並且

f

″

(

x

)

{\displaystyle f''(x)}

在

x

0

{\displaystyle x_{0}}

改變加減號，則称这个点是拐点；否則这个点不是拐点。[21]:200

如果函数在

x

0

{\displaystyle x_{0}}

处的二阶导数

f

″

(

x

0

)

{\displaystyle f''(x_{0})}

存在，极值点也可以用它的正负性判断（已确定

f

′

(

x

0

)

=

0

{\displaystyle f'(x_{0})=0}

）。如果

f

″

(

x

0

)

>

0

{\displaystyle f''(x_{0})>0}

，那么

x

0

{\displaystyle x_{0}}

是一个极小值点，反之为极大值点[2]:170-171。

凹凸性[编辑]

主条目：凸函數和凹函數

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上

f

″

{\displaystyle f''}

恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的[2]:176-178。

导数的计算[编辑]

原则上，函数的导数可以通过考虑差商和计算其极限来从定义计算。在实践中，一旦知道了一些简单函数的导数，就可以使用从更简单的函数获得更复杂函数的导数的规则，来更容易地计算其他函数的导数。

基本函数的导数[编辑]

主条目：导数列表

所谓基本函数是指一些形式简单并且容易求出导数的函数。这些基本函数的导函数可以通过定义直接求出。

幂函数的导数：如果

f

(

x

)

=

x

r

,

{\displaystyle f(x)=x^{r},}

其中

r

{\displaystyle r}

是任意实数，那么

f

′

(

x

)

=

r

x

r

−

1

,

{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}

函数

f

{\displaystyle f}

的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当

r

=

1

2

{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}

时：

f

′

(

x

)

=

1

2

x

−

1

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}

[2]:119

导函数的定义域只限所有正实数而不包括0。需要注意的是，不会有多项式函数的导数为

x

−

1

{\displaystyle \scriptstyle x^{-1}}

。当

r

=

0

{\displaystyle r=0}

时，常函数的导数是0。

底数为

e

{\displaystyle e}

的指数函数

y

=

e

x

{\displaystyle \scriptstyle y=e^{x}}

的导数还是自身：

d

d

x

e

x

=

e

x

.

{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.}

而一般的指数函数

y

=

a

x

{\displaystyle y=a^{x}}

的导数还需要乘以一个系数：

d

d

x

a

x

=

ln

⁡

(

a

)

a

x

.

{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}

[2]:122

自然对数函数的导数则是

x

−

1

{\displaystyle x^{-1}}

：

d

d

x

ln

⁡

(

x

)

=

1

x

,

x

>

0.

{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}

[2]:123 同样的，一般的对数函数导数则还需要乘以一个系数：

d

d

x

log

a

⁡

(

x

)

=

1

x

ln

⁡

(

a

)

{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}

三角函数的导数仍然是三角函数，或者由三角函数构成[2]:122:

d

d

x

sin

⁡

(

x

)

=

cos

⁡

(

x

)

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}

d

d

x

cos

⁡

(

x

)

=

−

sin

⁡

(

x

)

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}

d

d

x

tan

⁡

(

x

)

=

sec

2

⁡

(

x

)

=

1

cos

2

⁡

(

x

)

=

1

+

tan

2

⁡

(

x

)

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}

d

d

x

cot

⁡

(

x

)

=

−

csc

2

⁡

(

x

)

=

−

1

sin

2

⁡

(

x

)

.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}.}

反三角函数的导数则是无理分式[1]:160:

d

d

x

arcsin

⁡

(

x

)

=

1

1

−

x

2

,

−

1

<

x

<

1.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1

d

d

x

arccos

⁡

(

x

)

=

−

1

1

−

x

2

,

−

1

<

x

<

1.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1

d

d

x

arctan

⁡

(

x

)

=

1

1

+

x

2

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}

导数的求导法则[编辑]

主条目：求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

(

a

f

+

b

g

)

′

=

a

f

′

+

b

g

′

{\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'\,}

（其中

a

,

b

{\displaystyle a,b}

为常数）[2]:121

两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积

(

f

g

)

′

=

f

′

g

+

f

g

′

{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}

[2]:125

两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。

(

f

g

)

′

=

f

′

g

−

f

g

′

g

2

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}

（在

g

(

x

)

≠

0

{\displaystyle g(x)\neq 0}

处方有意义）[2]:126

复合函数的求导法则：如果有复合函数

f

(

x

)

=

h

[

g

(

x

)

]

{\displaystyle f(x)=h[g(x)]}

，那么

f

′

(

x

)

=

h

′

[

g

(

x

)

]

⋅

g

′

(

x

)

.

{\displaystyle f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,}

[2]:128

若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。

例子[编辑]

欲求函数

f

(

x

)

=

x

4

+

sin

⁡

(

x

2

)

−

ln

⁡

(

x

)

e

x

+

7

{\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}

在

x

=

3

{\displaystyle x=3}

处的导数。可以先求出其导函数：

f

′

(

x

)

=

4

x

(

4

−

1

)

+

d

(

x

2

)

d

x

cos

⁡

(

x

2

)

−

[

d

(

ln

⁡

x

)

d

x

e

x

+

ln

⁡

x

d

(

e

x

)

d

x

]

+

0

=

4

x

3

+

2

x

cos

⁡

(

x

2

)

−

1

x

e

x

−

ln

⁡

(

x

)

e

x

.

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-\left[{\frac {\mathrm {d} \left(\ln {x}\right)}{\mathrm {d} x}}e^{x}+\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}\right]+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}

其中第二项使用了复合函数的求导法则，而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后，再将

x

=

3

{\displaystyle x=3}

代入，得到导数为：

f

′

(

3

)

=

108

+

6

cos

⁡

(

9

)

−

e

3

3

−

ln

⁡

(

3

)

e

3

{\displaystyle f'(3)=108+6\cos(9)-{\frac {e^{3}}{3}}-\ln(3)e^{3}\,}

高阶导数[编辑]

二阶导数[编辑]

主条目：二階導數

如果函数的导数

f

′

(

x

)

{\displaystyle f'(x)\,}

在

x

{\displaystyle x\,}

处可导，则称

[

f

′

(

x

)

]

′

{\displaystyle [f'(x)]'\,}

为

x

{\displaystyle x\,}

的二阶导数。记做：

f

″

(

x

)

{\displaystyle f''(x)\,}

，

y

″

{\displaystyle y''\,}

，

d

2

y

d

x

2

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}x^{2}}}}

或

d

2

f

(

x

)

d

x

2

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}f(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}}

[2]:132、

二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。

f

″

(

x

)

>

0

{\displaystyle f''(x)>0}

函数在x上凹。

f

″

(

x

)

<

0

{\displaystyle f''(x)<0}

函数在x下凹。

高阶导数[编辑]

二阶导数的导数称为三阶导数，记做

f

‴

(

x

)

{\displaystyle f'''(x)\,}

，

y

‴

{\displaystyle y'''\,}

，

d

3

y

d

x

3

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}y}{{\rm {d}}x^{3}}}}

或

d

3

f

(

x

)

d

x

3

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}f(x)}{{\rm {d}}x^{3}}}}

三阶导数的导数称为四阶导数，记做

f

(

4

)

(

x

)

{\displaystyle f^{(4)}(x)\,}

，

y

(

4

)

{\displaystyle y^{(4)}\,}

，

d

4

y

d

x

4

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}y}{{\rm {d}}x^{4}}}}

或

d

4

f

(

x

)

d

x

4

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}f(x)}{{\rm {d}}x^{4}}}}

一般的

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)\,}

的

n

−

1

{\displaystyle n-1\,}

阶导数的导数称为

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)\,}

的

n

{\displaystyle n\,}

阶导数，记为

f

(

n

)

(

x

)

{\displaystyle f^{(n)}(x)\,}

，

y

(

n

)

{\displaystyle y^{(n)}\,}

，

d

n

y

d

x

n

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}y}{{\rm {d}}x^{n}}}}

或

d

n

f

(

x

)

d

x

n

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}f(x)}{{\rm {d}}x^{n}}}}

[2]:133

高阶导数的求法[编辑]

一般来说，高阶导数的计算和导数一样，可以按照定义逐步求出。同时，高阶导数也有求导法则：

d

n

d

x

n

(

u

±

v

)

=

d

n

d

x

n

u

±

d

n

d

x

n

v

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\pm v)={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\pm {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}v}

d

n

d

x

n

(

C

u

)

=

C

d

n

d

x

n

u

 

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(Cu)=C{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\ }

d

n

d

x

n

(

u

⋅

v

)

=

∑

k

=

0

n

C

k

n

d

n

−

k

d

x

n

−

k

u

d

k

d

x

k

v

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\cdot v)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{n}{\frac {{\rm {d}}^{n-k}}{{\rm {d}}x^{n-k}}}u{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}v}

（莱布尼兹公式）[2]:134

因此，可以利用已知的高阶导数求导法则，通过四则运算, 变量代换等方法，求出

n

 

{\displaystyle n\ }

阶导数。一些常见的有规律的高阶导数的公式如下[2]:133：

d

n

d

x

n

x

α

=

x

α

−

n

∏

k

=

0

n

−

1

(

α

−

k

)

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}x^{\alpha }=x^{\alpha -n}\prod _{k=0}^{n-1}(\alpha -k)}

d

n

d

x

n

1

x

=

(

−

1

)

n

n

!

x

n

+

1

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}{\frac {n!}{x^{n+1}}}}

d

n

d

x

n

ln

⁡

x

=

(

−

1

)

n

−

1

(

n

−

1

)

!

x

n

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\ln x=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}

{\displaystyle \!}

d

n

d

x

n

e

x

=

e

x

 

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{x}=e^{x}\ }

d

n

d

x

n

a

x

=

a

x

⋅

ln

n

⁡

a

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}a^{x}=a^{x}\cdot \ln ^{n}a}

(

a

>

0

)

 

{\displaystyle (a>0)\ }

{\displaystyle \!}

d

n

d

x

n

sin

⁡

(

k

x

+

b

)

=

k

n

sin

⁡

(

k

x

+

b

+

n

π

2

)

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\sin \left(kx+b\right)=k^{n}\sin \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}

d

n

d

x

n

cos

⁡

(

k

x

+

b

)

=

k

n

cos

⁡

(

k

x

+

b

+

n

π

2

)

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\cos \left(kx+b\right)=k^{n}\cos \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}

多元函数的导数[编辑]

主条目：向量分析

向量值函数的导数[编辑]

当函数

y

{\displaystyle y}

的取值不再是实数，而是一般的

R

n

{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}

中的向量时，仍然可能对其求导。这时的函数值是：

y

=

(

y

1

(

x

)

,

y

2

(

x

)

,

⋯

,

y

n

(

x

)

)

{\displaystyle y=\left(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots ,y_{n}(x)\right)}

。每个

y

i

(

x

)

,

1

⩽

i

⩽

n

{\displaystyle y_{i}(x),\;\;1\leqslant i\leqslant n}

都是一个实数值的函数。具体的例子如二维或者三维空间里的参数方程。因此，对

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

求导实际上是对每个分量函数

y

i

(

x

)

{\displaystyle y_{i}(x)}

求导。

y

′

(

t

)

=

(

y

1

′

(

t

)

,

⋯

,

y

n

′

(

t

)

)

.

{\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\cdots ,y'_{n}(t)).}

[2]:191

这也符合定义

y

′

(

t

)

=

lim

h

→

0

y

(

t

+

h

)

−

y

(

t

)

h

,

{\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}

设

(

e

1

,

e

2

,

⋯

e

n

)

{\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\cdots e_{n}\right)}

为

R

n

{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}

的一组基，那么对函数：

y

:

t

↦

y

1

(

t

)

e

1

+

y

2

(

t

)

e

2

+

⋯

y

n

(

t

)

e

n

,

{\displaystyle y\,:t\,\mapsto \,y_{1}(t)e_{1}+y_{2}(t)e_{2}+\cdots y_{n}(t)e_{n},}

其导函数为：

y

′

(

t

)

=

y

1

′

(

t

)

e

1

+

y

2

′

(

t

)

e

2

+

⋯

y

n

′

(

t

)

e

n

{\displaystyle y'(t)=y'_{1}(t)e_{1}+y'_{2}(t)e_{2}+\cdots y'_{n}(t)e_{n}}

偏导数[编辑]

主条目：偏导数

如果有函数

f

{\displaystyle f}

其自变量不是单个实数，而是多于一个元素，例如：

f

(

x

,

y

)

=

x

2

+

x

y

+

y

2

.

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}

这时可以把其中一个元素（比如

x

{\displaystyle x}

）看做参数，那么

f

{\displaystyle f}

可以看做是关于另一个元素的参数函数：

f

(

x

,

y

)

=

f

x

(

y

)

=

x

2

+

x

y

+

y

2

.

{\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}

也就是说，对于某个确定的

x

{\displaystyle x}

，函数

f

x

{\displaystyle f_{x}}

就是一个关于

y

{\displaystyle y}

的函数。在

x

=

a

{\displaystyle x=a}

固定的情况下，可以计算这个函数

f

x

{\displaystyle f_{x}}

关于

y

{\displaystyle y}

的导数。

f

a

′

(

y

)

=

a

+

2

y

{\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y\,}

这个表达式对于所有的

a

{\displaystyle a}

都对。这种导数称为偏导数，一般记作：

∂

f

∂

y

(

x

,

y

)

=

x

+

2

y

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}

这里的符号 ∂ 是字母

d

{\displaystyle d}

的圆体变体，一般读作

δ

{\displaystyle \delta }

的首音节或读“偏”，以便与

d

{\displaystyle d}

区别。

更一般地来说，一个多元函数

f

(

x

1

,

x

2

,

⋯

,

x

n

)

{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}

在点

(

a

1

,

a

2

,

⋯

,

a

n

)

{\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)}

处对

x

i

{\displaystyle x_{i}}

的偏导数定义为：

∂

f

∂

x

i

(

a

1

,

…

,

a

n

)

=

lim

h

→

0

f

(

a

1

,

…

,

a

i

+

h

,

…

,

a

n

)

−

f

(

a

1

,

…

,

a

n

)

h

.

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.}

上面的极限中，除了

x

i

{\displaystyle x_{i}}

外所有的自变元都是固定的，这就确定了一个一元函数：

f

a

1

,

…

,

a

i

−

1

,

a

i

+

1

,

…

,

a

n

(

x

i

)

=

f

(

a

1

,

…

,

a

i

−

1

,

x

i

,

a

i

+

1

,

…

,

a

n

)

{\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}

因此，按定义有：

d

f

a

1

,

…

,

a

i

−

1

,

a

i

+

1

,

…

,

a

n

d

x

i

(

a

i

)

=

∂

f

∂

x

i

(

a

1

,

…

,

a

n

)

.

{\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}

偏导数的实质仍然是一元函数的导数。[22]:56

多变量函数的一个重要的例子，是从

R

n

{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}

（例如

R

2

{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}

或

R

3

{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}

）映射到

R

{\displaystyle \mathbf {R} }

上的标量值函数

f

(

x

1

,

x

2

,

⋯

,

x

n

)

{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}

。在这种情况下，

f

{\displaystyle f}

关于每一个变量

x

i

{\displaystyle x_{i}}

都有偏导数

∂

f

∂

x

i

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}

。在点

x

=

a

{\displaystyle x={\boldsymbol {a}}}

，这些偏导数定义了一个向量：

∇

f

(

a

)

=

[

∂

f

∂

x

1

(

a

)

,

…

,

∂

f

∂

x

n

(

a

)

]

{\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {a}})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})\right]}

。

这个向量称为

f

{\displaystyle f}

在点

a

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}

的梯度。如果

f

{\displaystyle f}

在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数

∇

f

{\displaystyle \nabla f}

，它把点

a

{\displaystyle a}

映射到向量

∇

f

(

a

)

{\displaystyle \nabla f(a)}

。这样，梯度便决定了一个向量场。

方向导数[编辑]

主条目：方向导数

方向导数是比偏导数更加广泛的概念。导数的本质是函数值增量与自变量增量之比的极限。在多元函数

f

{\displaystyle f}

中，可以选定一个确定的方向（以这个方向上的单位向量

δ

{\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}

表示），并考虑函数在这个方向上的增量：

f

(

x

0

+

t

δ

)

−

f

(

x

0

)

{\displaystyle f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}

这个增量为关于

t

{\displaystyle t}

的一元函数。函数

f

{\displaystyle f}

的方向导数定义为这个增量与

t

{\displaystyle t}

的比值在

t

{\displaystyle t}

趋于0时的极限，记为

∂

f

∂

δ

(

x

0

)

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\delta }}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}

。

∂

f

∂

δ

(

x

0

)

=

lim

t

→

0

f

(

x

0

+

t

δ

)

−

f

(

x

0

)

t

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\delta }}}}({\boldsymbol {x}}_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}_{0}+t{\boldsymbol {\delta }})-f({\boldsymbol {x}}_{0})}{t}}}

方向导数表示了函数从某点开始在某个方向上的变化率。[22]:55-56

在

R

n

{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}

中，如果将向量

δ

{\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}

选为正规基

(

e

1

,

e

2

,

⋯

,

e

n

)

{\displaystyle \left({\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\right)}

之中的一个，如

e

i

{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}

，那么方向导数就是关于

x

i

{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}

的偏导数。[22]:55-56

推广[编辑]

导数的概念建立在变量为实数之上，但也可以推广到更加广泛的意义上。推广的导数本质上仍旧是函数在局部一点上的线性逼近。

复变量导数[编辑]

主条目：全纯函数

对于变量为复数的函数，也可以定义导数的概念。假设有复变函数

f

:

Ω

∈

C

→

C

{\displaystyle f:\Omega \in \mathbb {C} \to \mathbb {C} }

。如果

f

{\displaystyle f}

在某一点

z

0

{\displaystyle z_{0}}

及附近有定义，并且极限：

lim

z

→

z

0

f

(

z

)

−

f

(

z

0

)

z

−

z

0

{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}

存在，那么就说函数

f

{\displaystyle f}

在

z

0

{\displaystyle z_{0}}

可导。其中

z

→

z

0

{\displaystyle z\to z_{0}}

表示

z

−

z

0

{\displaystyle z-z_{0}}

的模长趋向于0。如果将复变量

z

{\displaystyle z}

视作

x

+

i

y

{\displaystyle x+iy}

，那么

f

{\displaystyle f}

可以视作一个

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

上的函数。如果作为复变函数的

f

{\displaystyle f}

可导，那么作为

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

上函数的

f

{\displaystyle f}

的偏导数也存在，但反之则不然。只有当柯西-黎曼条件满足的时候才能保证复变函数的复可导性[23]。

弱微分[编辑]

主条目：弱微分

在分布理论里，弱微分的概念使得对更多严格意义上无法求导的函数也可以定义导函数。设

u

{\displaystyle u}

是一个局部勒贝格可积（比如说在

L

l

o

c

1

(

R

)

 

{\displaystyle L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )\ }

中）的函数，称

v

∈

L

l

o

c

1

(

R

)

{\displaystyle v\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )}

是

u

{\displaystyle u}

的一个弱微分，如果对所有的测试函数

φ

{\displaystyle \varphi }

，都有：

∫

R

u

(

t

)

φ

′

(

t

)

d

t

=

−

∫

R

v

(

t

)

φ

(

t

)

d

t

{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{\mathbb {R} }v(t)\varphi (t)dt}

成立。其中测试函数是指紧支撑的光滑函数[24]。弱微分包括了强微分，也就是通常意义上的导数。

次导数[编辑]

主条目：次导数

过

x

0

{\displaystyle x_{0}}

的直线（红）在函数（蓝）下方，它的斜率是函数的次导数

在凸分析，也就是对凸函数的研究中，可以定义凸函数的次导数。次导数的概念是导数的几何意义的推广。由于函数是凸的，过它的图像上每一点总可以作一条直线，使得函数的图像在直线上方。这种直線的斜率称为函数在这点的次导数。如果函数在某点可导，那么次导数只有一个，等于其导数。如果函数像绝对值函数一样在零点有突然的转折，那么次导数可能不止一个。比如过零点而斜率在

(

−

1

,

1

)

{\displaystyle (-1,1)}

之间的直线都在绝对值函数下方，因此

(

−

1

,

1

)

{\displaystyle (-1,1)}

之间的每个数都是绝对值函数在零点的次导数。[25]

非整数阶导数[编辑]

主条目：分数微积分

早在十九世纪，在数学家明确了求导与积分的互逆关系以后，就出现了负阶次导数的记号：

D

−

n

=

∫

n

{\displaystyle D^{-n}=\int ^{n}}

（表示求n次积分）[9]:208。而非整数阶导数的概念则进一步将其推广。比如，半微分算子

H

=

D

1

2

{\displaystyle H=D^{\frac {1}{2}}}

表示其作用于函数上两次以后的效果将等于一次求导：

H

2

(

f

)

(

x

)

=

H

[

H

(

f

)

]

(

x

)

=

D

(

f

)

(

x

)

=

f

′

(

x

)

{\displaystyle H^{2}(f)(x)=H[H(f)](x)=D(f)(x)=f'(x)}

定义非整数阶导数的方法不止一种，最常用的非整数阶导数定义为黎曼-刘维尔定义：

设

0

<

s

<

1

{\displaystyle 0

，函数

f

{\displaystyle f}

的s阶积分为：

D

t

−

s

f

(

t

)

=

1

Γ

(

s

)

∫

a

t

(

t

−

u

)

s

−

1

f

(

u

)

d

(

u

)

{\displaystyle D_{t}^{-s}f(t)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{a}^{t}(t-u)^{s-1}f(u)d(u)}

而对

n

−

1

<

β

<

n

{\displaystyle n-1<\beta

，函数

f

{\displaystyle f}

的

β

{\displaystyle \beta }

阶导数为：

D

t

β

f

(

t

)

=

d

n

d

t

n

[

D

t

−

n

−

β

f

(

t

)

]

{\displaystyle D_{t}^{\beta }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left[D_{t}^{-n-\beta }f(t)\right]}

[26][27]

加托导数和弗雷歇导数[编辑]

方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论[28]。

导子[编辑]

主条目：导子

微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子[29]。给定一个环或域

R

{\displaystyle \mathbf {R} }

上的一个代数

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

，

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

上的一个

R

{\displaystyle \mathbf {R} }

-导子

δ

{\displaystyle \delta }

是一个从

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

射到自身的

R

{\displaystyle \mathbf {R} }

-线性映射（线性自同态），并满足导数的乘积法则：

δ

(

a

b

)

=

(

δ

a

)

b

+

a

(

δ

b

)

{\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)}

所有

R

{\displaystyle \mathbf {R} }

-导子构成了

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

上线性自同态集

End

⁡

A

{\displaystyle \operatorname {End} {\mathcal {A}}}

的子空间[30]。

导数的应用[编辑]

物理学、几何学、工程科学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，也可以表示曲线在一点的斜率。

边际和弹性[编辑]

经济学中，所谓边际和弹性的概念与导数紧密相关。比如边际成本就是产量增加一个单位所带来的成本的增加，若將其連續化，得到的便是成本函数的导数。又如需求的弹性是指价格变化一个单位时，需求量的变化，連續化後相應的也是需求函数关于价格的导数。[31]

参见[编辑]

微积分

微分

積分

光滑函数

微分中值定理

介值定理

自动微分

第二次数学危机

协变导数

数值微分

注释[编辑]

^ 发现于费马1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》

参考文献[编辑]

^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 徐森林; 薛春华. 《数学分析（第一册）》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-11746-9. 

^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 欧阳光中; 姚允龙; 周渊 (编). O.305. 《数学分析（上册）》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7-309-03570-4. 

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Igor Podlubny. Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198). Academic Press. 1998年10月. ISBN 0-12-558840-2. 

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外部链接[编辑]

导数计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Hazewinkel, Michiel (编), Derivative, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

埃里克·韦斯坦因. Derivative. MathWorld. 

规范控制

GND: 4233840-2

J9U: 987007574837105171

LCCN: sh2011005437

NDL: 00560650

NKC: ph137564

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=导数&oldid=81687775”

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如何理解导数的概念 ? - 知乎

如何理解导数的概念 ? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册数学微积分高等数学数学分析导数如何理解导数的概念 ?先交代教育背景，非211大一工科在读，蹭了一学期数学专业的数分课。关于导数，我有以下问题： 1、导数是函数的一个局部性质。它指的到底是函数在一点及其附…显示全部 ​关注者1,554被浏览1,095,177关注问题​写回答​邀请回答​好问题 55​6 条评论​分享​87 个回答默认排序马同学​数学话题下的优秀答主​ 关注先简短地回答下我对“什么是导数”的认识：导数是用来找到“线性近似”的数学工具。下面我来解释一下，为什么我是这样认为的。在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度导数是用来找到“线性近似”的数学工具导数是线性变换我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是这么厉害）。因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。还可以顺便得到了切线的斜率：我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。1.1 但是！把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点a：在曲面上可以做无数条过a点的曲线（图上随便画了三根）：把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数，可以参看我之前写过的一个回答： 什么是全导数？ 。2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。2.1 微积分的基本思想微积分的基本思想是“以直代曲”：“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：我觉得下面这幅图也挺有意思，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：这里我希望给你一个直观印象，切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。我们来看看，在一元函数中：因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”（切线），但是在二元中，我们需要新的技术手段。3 导数是线性变换3.1 二元函数的“线性近似”导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面（可以参考我之前的回答： 如何理解全微分？ ）：一个平面是没有斜率的概念的，因此我们不能把导数继续看作斜率了，我们需要别的方法来找到这个切平面。3.2 线性变换对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答 什么是仿射变换？ 。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。还是从一元的时候开始推：上图的\vec{\Delta x}指向右边，实际上求出的A是右导数，我换个方向就可以求出左导数：如果A=B，相当于左右导数相等，我们就称为此点可导。顺便说一句，此时在 a 点附近同样也有 f(x)\approx f(a)+A\Delta x 。二元函数的时候，\vec{\Delta x}有无数的方向（不像一元的时候只有左右两边）：我们把这些\vec{\Delta x}分别记为 \vec{\Delta x_1},\vec{\Delta x_2},\vec{\Delta x_3},\cdots,\vec{\Delta x_n},\cdots ，那它们的切线分别为：\vec{T_1}=A_1\vec{\Delta x_1},\vec{T_2}=A_2\vec{\Delta x_2},\vec{T_3}=A_3\vec{\Delta x_3},\cdots,\vec{T_n}=A_n\vec{\Delta x_n},\cdots导数分别就是 A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n,\cdots （可以理解这些都是方向导数）。导数：如果有 A=A_1=A_2=A_3=\cdots=A_n=\cdots，那么此点可导，此点导数即为A。为什么A就是导数？A不是还没有完成找到切平面的任务吗？3.3 通过导数A来找到切平面首先，所有的\vec{\Delta x}肯定是共面的：因为此点可导，即所有的\vec{\Delta x}的导数都是A，所以变换后的结果也共面（线性变换的特点是，变换前是共面的，变换后也是共面的）：看看动画吧（可以旋转视角来观察）：此处有互动内容，点击此处前往操作。对所有的\vec{T}=A\vec{x}+\vec{a}的都进行 A 变换，实际上就得到了切平面：至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”注意，有一点需要特别说明的是，因为矢量的起始点要求是在原点，但是我上面把起始点放在a点了，所以实际上是仿射变化，所以实际上\vec{T}=A\vec{x}+\vec{a}， A 仍然是导数。推荐马同学图解数学系列编辑于 2024-01-05 11:34​赞同 2448​​97 条评论​分享​收藏​喜欢收起​齐昱北师数学系，理科思维的理科生（现在在搞机器学习了）​ 关注谢 @牧元 邀。各位知友已经答的很多了，我觉得说的很有道理。我想以轻松的语气以及通俗的语言，来说明导数这个东西到底是什么，顺便回答题主的问题。略长，可直接跳到后面半段。开始吧。讨论一个东西，首先搞清楚它是如何定义的，然后搞清楚我们为什么要定义它。导数的定义，通俗的讲，很简单，是曲线的切线的斜率。问题来了，什么是切线？圆的切线我们都知道，垂直于半径就行了。一般的曲线呢？我们无法定义出一个类似“半径”的东西，然后做垂直。要知道，曲率半径是由导数定义的啊。先有了导数才有了曲率半径这种东西。于是我们回到最原始的“切线”的定义。曲线上两个点确定一条割线。当两个点足够靠近的时候，割线变成了切线。好，什么叫足够靠近？足够靠近的两个点，是一个点还是两个点？如果是两个点，这还是割线。如果是一个点，那直线是怎么画出来的？于是人们陷入了困惑。然而，“极限”思想出现了。这时候人们从另一条路去考虑切线的问题。人们慢慢接受了用ε-δ语言，去理解“无穷小”，“无限接近”等概念。这是人类数学史上伟大的进步。我们可以理解成这样：一条曲线的割线，总是有斜率的。固定住一个点，让另一个点去靠近它，这时候斜率在发生变化。但是这些斜率有一个特点，就是它们可以在两个点越来越近的时候，越来越接近一个数值。诶，这个值，就叫做【导数】了。当然我们可以严格的用ε-δ语言写出它，此处就略了吧。原先我们想，严格的画出曲线的切线，测出它的斜率，把它叫做导数。可是实际上，我们画不出切线，但是我们却先求出了导数。可见极限，是个好东西啊。【各位记着我这句话，切线是算出来的，不是画出来的。 】导数定义完了。这么费劲的定义它，有什么用呢？稍微扯远一点。有数学家（不止一个）曾说，人类知道的越多，越感到自己的无知。以这样的心态来看问题，我们现在所知的东西，其实甚少。对于函数，我们只对于线性的函数有大致的了解。为了对一切函数都进行研究，我们只能将其化为线性，考察它的切线的性质。数学分析中曾经被认为【最有用】的泰勒展开，说白了也就是把函数展开成各阶线性的和。说回我们的事。导数定义好了，从定义上我们能知道这么几件事。第一，

它在每一个点都可以如法定义。也就是说，它是一个全定义域上的定义。正因如此，它可以被看成是一个新的函数。第二，

它对函数增减的快慢有着清楚的描述。定义完成了，就可以来回答题主的小小疑惑。第一个小问题，为什么函数有定义才能有导数，没有定义也可以有导数啊。确实，在题主的例子下，我们可以发现，没有定义的地方有切线，进而有斜率。可是在其他情况下，没有定义的点压根就没有切线，怎么去定义那些导数呢？比如 y = 1/x ，在x=0 处？那这时候你就反驳了，说我们可以定义“无定义点有切线的函数”和“无定义点没有切线的函数”。确实是这样，但是这样好麻烦啊。我们更喜欢这样定义：把“无定义点有切线的函数”的“无定义点”补上，形成完整的函数，对它来进行研究。这样省去了很多困扰。所以干脆我们就人为地规定：每一个没有定义的点，都不许有导数。有切线也不行。为了方便统一管理。你要是有切线，你干脆把那点填上不好么。这样一规定，世界单纯多了。第二个问题，说时间静止的时候，速度是不是零。当然不是，而且我要恭喜你，问了一个和古人问的一模一样的问题。芝诺悖论（飞矢不动悖论）：一个飞出去的箭，让时间停止，这时候箭有速度么？按常识（当时的常识），没有。下一时刻再让时间停止，箭有速度么？还是没有。每一时刻箭都没有速度，那它是怎么走的呢？那岂不是飞矢不动？这个悖论的回答应该刚好解答了题主的困惑。牛顿对这个问题进行了深入的研究。研究的第一步，是问了自己这样的问题：什么是一个物体在某一时刻的瞬间的速度？由此我们也能看出，任何的研究，都是从一个叫做“定义”的东西出发的。当时的物理学，只承认平均速度的概念，而对瞬时速度并没有明确的认识。当时物理学家普遍认为，任何短的一段时间内，平均速度都是有的，而在某一点的瞬时速度，是零。这逻辑当然是不对的。永远不能把“未定义”或“无意义”当成是“零”。这个时候牛顿用已经定义好的极限概念（当然是ε-δ语言），去定义瞬间的速度（后来叫做瞬时速度），发现这个定义意外的好用。它定义了以前未定义的量，并且求出了值！这时候芝诺悖论被攻破了。我能算出某一瞬间的速度值，你还能说它是静止的吗？题主的问题描述里面有一句话是说，让时间停止然后用工具测量。这话不对。时间停止了，工具测不出来。但是，注意，极限是用ε-δ语言定义的，在这个定义中，并没有真正的去测一个凝固时间的速度。而是用极短时间的速度来逼近。换句话说，瞬时速度不是测出来的，是算出来的。用工具去测瞬时速度，就陷入了芝诺悖论。还记得刚才说的那句话吗？【切线是算出来的，不是画出来的。】以上。编辑于 2015-04-01 13:20​赞同 644​​45 条评论​分享​收藏​喜欢

导函数_百度百科

百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心导函数播报讨论上传视频数学函数收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)。 [1]如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。中文名导函数外文名derivative function几何意义表函数上一点在该点处切线的斜率单调性y'>0，原函数是增函数应用学科数学应用领域函数目录1定义2分类3条件4单调性5导数极值定义播报编辑如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)。如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数 [1]。若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于开区间内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。导函数的定义表达式为：值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点X0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。分类播报编辑基本函数的导函数其中C为常数和差积商函数的导函数[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]复合函数的导函数设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)例 ：y = t^2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x复合函数与其导函数条件播报编辑如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。例如：f(x)=|x|在x=0处虽连续，但不可导（左导数-1，右导数1）上式中，后两个式子可以定义为函数在处的左右导数：左导数：f(x-)=-1右导数：f(x+)=1单调性播报编辑一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。导数极值播报编辑一般地，设函数y=f(x)在x=X0及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说是函数y=f(x)的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：1．极值是一个局部概念。根据定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2．函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。3．极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。5．在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 f'(x) =0。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。　若满足 =0，且在的两侧f(x)的导数异号，则是f(x)的极值点，是极值，并且如果 在x0两侧满足“左正右负”，则是f(x)的极大值点，f()是极大值；如果 在x0两侧满足“左负右正”，则是f(x)的极小值点，f()是极小值。6.极值与最值的区别：极值是在局部对函数进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

导数规则| 数学演算

导数规则| 数学演算

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首页/数学/微积分/导数

导数规则

衍生规则和法律。函数的导数表。

导数定义

导数规则

函数导数表

衍生范例

导数定义

当Δx无限小时，函数的导数是点x +Δx和点x处函数值f（x）与Δx之差的比率。导数是函数斜率或点x处切线的斜率。

 

二阶导数

二阶导数由下式给出：

或者简单地导出一阶导数：

N阶导数

所述Ñ阶导数是由导出F（X）n倍来计算。

第n个导数等于（n-1）个导数的导数：

f （n）（x）= [ f （n -1）（x）]'

例：

找出的四阶导数

f（x）= 2 x 5

f （4）（x）= [2 x 5 ]''''= [10 x 4 ]'''= [40 x 3 ]''= [120 x 2 ]'= 240 x

功能图上的导数

函数的导数是切线的斜率。

导数规则

导数和规则

（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x）

衍生产品规则

（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x）

导数商法则

导数链规则

f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x）

导数和规则

当a和b为常数时。

（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x）

例：

查找以下项的导数：

3 x 2 + 4 x。

根据总和规则：

a = 3，b = 4

f（x）= x 2，g（x）= x

f'（x）= 2 x ，g'（x）= 1

（3 X 2 + 4 X）” =3⋅2 X +4⋅1= 6 X + 4

衍生产品规则

（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x）

导数商法则

导数链规则

f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x）

使用拉格朗日的符号可以更好地理解此规则：

函数线性逼近

对于小Δx，当我们知道f（x 0）和f'（x 0）时，我们可以获得f（x 0 +Δx）的近似值：

˚F（X 0 +Δ X）≈ ˚F（X 0）+ ˚F “（X 0）⋅Δ X

函数导数表

功能名称

功能

衍生物

f（x）

f '（x）

不变

const

0

线性的

x

1

功率

X一

斧a- 1

指数的

Ë X

Ë X

指数的

一个X

一个X LN一

自然对数

ln（x）

对数

对数b（x）

正弦波

罪恶x

cos x

余弦

cos x

-罪x

切线

谭X

反正弦

阿克辛x

反余弦

arccos x

反正切

arctan x

双曲正弦

的sinh X

cosh x

双曲余弦

cosh x

的sinh X

双曲正切

tanh x

反双曲正弦

正弦-1 x

反双曲余弦

cosh -1 x

反双曲正切

tanh -1 x

衍生范例

例子1

f（x）= x 3 +5 x 2 + x +8

F' （X）= 3 X 2 +2⋅5 X + 1 + 0 = 3 X 2 10 X 1

范例＃2

f（x）= sin（3 x 2）

应用链式规则时：

f'（x）= cos（3 x 2）⋅[3 x 2 ]'= cos（3 x 2）⋅6 x

二阶导数测试

当函数的一阶导数在点x 0处为零时。

f '（x 0）= 0

然后，在点x 0处的二阶导数f''（x 0）可以指示该点的类型：

 

f ''（x 0）/ 0

局部最小值

f ''（x 0）<0

局部最大值

f ''（x 0）= 0

未定

 

也可以看看

结石

拉普拉斯变换（ℒ  ）

微积分符号

Advertising

结石

限制

衍生物

积分

系列

拉普拉斯变换

卷积

微积分符号

快速表格

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导数入门

导数入门

导数入门

全是与坡度有关！

坡度 = Y 的改变X 的改变

 

 

我们可以求两点之间的 平均 坡度.

 

 

但我们怎样求在一点的坡度？

没有什么可以测量的！

 

但是，在导数里，我们可以用一个很小的差……

……然后把它缩小到零。

 

求个导数！

求函数 y = f(x) 的导数，我们用坡度的公式：

坡度 =

Y 的改变

X 的改变

= ΔyΔx

我们看到（如图）:

x 从

 

x

变到

x+Δx

y 从

 

f(x)

变到

f(x+Δx)

按照这步骤去做：

代入这个坡度公式：

ΔyΔx = f(x+Δx) − f(x)Δx

尽量简化

把 Δx 缩小到零。

像这样：

例子：函数 f(x) = x2

我们知道 f(x) = x2，也可以计算 f(x+Δx) ：

开始：

 

f(x+Δx) = (x+Δx)2

展开 (x + Δx)2:

 

f(x+Δx) = x2 + 2x Δx + (Δx)2

 

坡度公式是：

f(x+Δx) − f(x)

Δx

 

 

代入 f(x+Δx) 和 f(x)：

x2 + 2x Δx + (Δx)2 − x2

Δx

简化 (x2 and −x2 约去）：

2x Δx + (Δx)2

Δx

再简化（除以 Δx）：

  = 2x + Δx

 

 

当 Δx 趋近 0时，我们得到：

= 2x

 

结果：x2 的导数是 2x

 

我们写 dx，而不写 "Δx 趋近 0"，所以 "的导数" 通常是写成

x2 = 2x

"x2 的导数等于 2x"

或 "x2 的 d dx 等于 2x"

x2 = 2x 的意思是什么？

意思是，对于函数 x2，在任何一点的坡度或 "变化率" 是 2x。

所以当 x=2，坡度是 2x = 4，如图所示：

或当 x=5，坡度是 2x = 10，以此类推。

注意：f’(x) 也是 "的导数" 的另一个写法：

f’(x) = 2x

"f(x) 的导数等于 2x"

 

再来看一个例子。

例子：x3是什么？

我们知道 f(x) = x3，也可以计算 f(x+Δx) ：

开始：

 

f(x+Δx) = (x+Δx)3

展开 (x + Δx)3:

 

f(x+Δx) = x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3

 

坡度公式：

f(x+Δx) − f(x)

Δx

代入 f(x+Δx) 和d f(x)：

x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3 − x3

Δx

简化 （x3 and −x3 约去）：

3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3

Δx

再简化 （除以 Δx）：

  = 3x2 + 3x Δx + (Δx)2

 

 

当 Δx 趋近 0 时，我们得到：

x3 = 3x2

你可以去玩玩 导数绘图器。

 

其他函数的导数

我们可以用同样的方法去求其他函数（如正弦、余弦、对数等等）的导数。

但在实际应用时，最常见的方法是；

导数法则

 

例子：sin(x) 的导数是什么？

在 导数法则 的网页上，答案是 cos(x)

做好了！

但是，用这些法则时要小心！

例子：cos(x)sin(x) 的导数是什么？

你不可以把 cos(x) 的导数与 sin(x)的导数相乘来得到答案……你需要用 "乘积法则" （见 导数法则）。

答案是 cos2(x) - sin2(x)

所以你的下一步是：学习使用导数法则。

 

记法

"缩小到零" 可以写一个 极限，像这样：

"f 的导数等于 当 Δx 趋近零时，f(x+Δx) - f(x) 除以 Δx的极限

 

有时导数是写成这样的 （见 以 dy/dx 来看导数):

 

 

求导数的过程称为 "微分法"。

你用微分法……来求导数。

何去何从？

去这里学习及练习用 导数法则 来求导数。

 

导数法则

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